Abu Rayxon Muhammad ibn Axmad Beruniy 973–yili Xorazmning qadimiy poytaxti Qiyot (hozirgi Beruniy tumani) shahri yaqinida tug’ildi. Beruniy «Ma’mun akademiyasi»da 1010–1017–yillarda ilmiy faoliyat olib bordi va ko’p fanlarga oid masalalarni hal qildi. Beruniy «Qadimgi xalqlardan qolgan yodgorliklar», «Geodeziya», «Hindiston», «Sfera nuqtalarini tekislikda tasvirlash», «Evklid ishlariga izohlar», «Qonuni Ma’sudiy» kabi 160 ga yaqin asarlar yaratdi. «Soyalar risolasi»da trigonometriyaga oid fikrlarini bayon qilgan.
O’rta asrlarda Sharq va G’arbda mashhur bo’lgan arifmetik «uch miqdor qoidasi» va uni kengaytirishga Beruniy «Hind roshiklari haqida kitob» risolasini bag’ishlagan. «Uch miqdor qoidasi» yoki «uchlama qoida» shundan iboratki, agar uchta a, b, c miqdor ma’lum bo’lsa, munosabatdan x ni topish kerak. Hindlar «tray rashika», ya’ni «uch o’rniga ega» deb atalgan bu qoidadan qanday foydalanganliklarini izohlab beradi.
Masalan, proportsiyadan noma’lum x ni topish uchun ikkita o’zaro kesishuvchi chiziq o’tkazib, hosil bo’lgan «to’rt o’rin»da sonlarni ma’lum ko’rinishda joylashtirganlar. Beruniyning aytishicha, ular o’n beshni bo’sh o’rin yoniga yozganlar va uni o’z qarshisidagiga, ya’ni uchga ko’paytirganlar, qirq besh hosil bo’ladi, uni beshga bo’lganlar, bo’linmada to’qqiz hosil bo’ladi. Mana shu [son] bo’sh o’rnida turishi kerak bo’lgan narsadir. Uchlama qoidani ikki qayta qo’llashni talab qiladilar.
Beruniy misol keltiradi: Agar 10 dirham ikki oyda 5 dirham foyda keltirsa, 8 dirham uch oyda qancha foyda keltiradi? Berilgan miqdorlar ushbu tartibda joylashtiriladi.
Noma’umni topish uchun, Beruniy, beshni bo’sh o’ringa ko’chiradi, uni uchga ko’paytiradi, so’ngra ko’paytmani sakkizga ko’paytiradi, 120 hosil bo’ladi, bu eslab qolinadi.
Keyin 2 ni 10 ga ko’paytiriladi, yigirma hosil bo’ladi. Eslab qolingan songa bo’linadi, 6 hosil bo’ladi. Mana shu sakkiz dirhamning uch oyda keltirgan foydasidir. Shunday qilib, Beruniy, shu sxema bo’yicha etti va o’n bir miqdor uchun hind qoidasi bo’yicha masala echishni bayon qiladi. U ta’kidlaydiki, hindlar faqat o’n bir miqdor bilan chegaralanadilar. Beruniy masalaning sharti va xususiyatiga ko’ra hoxlagancha sonlar miqdorini ko’rish mumkin, deb hisoblaydi va hind qoidasini umumlashtirgan xolda 15 va 17 miqdor uchun sonli misolni o’z asarida keltiradi.
Beruniyning «Qonuni Ma’sudiy» asari muqaddima va 11 maqoladan iborat. Muqaddimada quyidagi fikrni bayon etgan:
Men har bir insonning o’z sanhatiga amalga oshirish lozim bo’lgan ishni qildim. U esa o’zidan oldingi kishining ijtixodini minnatdorchilik bilan qabul etish, u ijtixodda biror halal borligi ma’lum bo’lsa, ayniqsa harakatlari miqdorlarining xuddi o’zini bilish mumkin bo’lmasa, qo’rqmay uni tashix etish va ravshan bo’lgan fikrni o’zidan bir qancha vaqt keyin keluvchi kishilar uchun estalik qilib qoldirishdir. 1 va 11 maqolalarida xronologiya va kalendar masalalari bayon etilgan, 111 maqolasi matematik maqoladir.
Unda 10 ta bob bo’lib:
1–bobda doiraga ichki chizilgan muntazam uchburchak, to’rtburchak, beshburchak, oltiburchak, sakkizburchak va o’nburchakning tomonlari doira bo’laklarning vatarlari sifatida, ularni tsirkul va chizg’ich yordamida yasash asosida hisoblanadi. Bunda u doiraga ichki chizilgan muntazam o’nburchakning tomonini quyidagi tenglama yordamida topadi bu ifoda kvadrat tenglamaga ekvivalent.
2–bobda asosiy vatarlar yordamida doiradagi boshqa vatarlar hisoblanadi.
3–bobda doira ning vatarini hisoblaydi. Bunda Beruniy ikki xil hisoblash usulini keltiradi, bu usulning birinchisi tenglamaga mos keladi, ikkinchisi esa ketma–ket yakinlashish usulidir. Ya’ni «Kubik tenglama» yordamida doiraga ichki chizilgan muntazam to’qqizburchakning bir tomonini topish usulini ko’rsatadi.
4–bobida 1°, 2°, 3° lik yoylarning vatarlari hisoblanadi va shu bilan bog’liq burchak triseksiyasiga oid masalani qaraydi.
5–bobda π soni hisoblanadi. Bu erda Beruniy π uchun 3,14174628 qiymatini keltiradi.
6–bobda avval radius uchun miqdor tanlaydi. Beruniy o’zidan avvalgi astronom va matematiklardan farqli o’laroq radius uzunligini 60 emas, 1 deb oladi. So’ngra 1° dan 90° gacha, 15 lik interval bilan sinuslar jadvalini keltiradi.
7–bobda jadvaldan foydalanish hamda chiziqli va kvadrat interpolyatsiyalash qoidalari keltiriladi.
8–bobda «tekis soya» (kotangens) va «akslangan soya» (tangens)ning ta’riflarini keltiradi. Shu bobda trigonometrikaga oid fikrlarni mufassal keltiradi.
9–bobda tomonlari a, b, c bo’lgan ABC sferik uchburchak uchun sinuslar teoremasi isbotlanadi.
10–bobda C burchagi to’g’ri burchak bo’lgan ABC sferik uchburchak uchun tangenslar teoremasi isbotlanadi.
IV maqolasi sferik astronomiyaga bag’ishlangan. V maqolasi geodeziyaga bag’ishlangan. VI–XI maqolalar maxsus astronomik masalalariga, sayyoralar va ularning harakatlari, yulduzlar katalogi va boshqalarga bag’ishlangan.
Beruniyning «Astronomiya» asarida «Sodda tenglamalar nima?» degan savolga javob berib, bizning belgilashlarimizda: ; va tenglamalarni ko’rsatadi.
Murakkab tenglamalariga: ; ; ko’rinishdagi tenglamalarning echimlarini keltiradi va ulardan foydalanadi. Bulardan tashqari, «Chiziqli va kvadrat tenglamalarni echish», «To’ldirish va qarama–qarshi qo’yish nima?» masalalari qaraladi.
U 1048–yilda 75 yoshida G’azna shahrida vafot etgan.